Question

如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC＝4，∠OAC＝60°.

(1)求∠AOC的度数；

(2)如图，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S_△MAO＝S_△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer

（1）∠AOC＝60°；（2）当S△MAO＝S△CAO时，动点M所经过的弧长为π或π或π或π.

【解析】

（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，即可得到结论；

（3）如图，当S△MAO=S△CAO时，动点M的位置有四种．

①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1；②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2；③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3；④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长．

（1）在△ACO中，∵∠OAC=60°，OC=OA，∴△ACO是等边三角形，∴∠AOC=60°．

（2）如图，分四种情况讨论：

①作点C关于直径AB的对称点M1，连接AM1，OM1．

易得：S△M1AO=S△CAO，∠AOM1=60°，∴，∴当点M运动到M1时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．

②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连接AM2，OM2，易得：=S△CAO，∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°，∴或，∴当点M运动到M2时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．

③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连接AM3，OM3，易得：=S△CAO，∴∠BOM3=60°，∴或，∴当点M运动到M3时，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为．

④当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO=S△CAO，此时点M经过的弧长为或．

综上所述：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为π或π或π或π．