Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AC=3，∠B=30°．

①求⊙O的半径；

②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）

Answer

（1）BC与⊙O相切，理由见解析；（2）①⊙O的半径为2.②S阴影= .

【解析】试题（1）根据题意得：连接OD，先根据角平分线的性质，求得∠BAD＝∠CAD，进而证得OD∥AC，然后证明OD⊥BC即可；

（2）设⊙O的半径为r．则在Rt△OBD中，利用勾股定理列出关于r的方程，通过解方程即可求得r的值；然后根据扇形面积公式和三角形面积的计算可以求得结果．

试题解析：（1）相切．

理由如下：

如图，连接OD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD.

∵OA＝OD，

∴∠ODA＝∠BAD，

∴∠ODA＝∠CAD，

∴OD∥AC.

又∠C＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC与⊙O相切

（2）①在Rt△ACB和Rt△ODB中，

∵AC＝3，∠B＝30°，

∴AB＝6，OB＝2OD.又OA＝OD＝r，

∴OB＝2r，

∴2r＋r＝6，

解得r＝2，

即⊙O的半径是2

②由①得OD＝2，则OB＝4，BD＝2，

S阴影＝S△BDO－S扇形CDE＝×2×2－＝2－π