Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC.⊙O是△BEF的外接圆，连结BD.

(1)求证：△ABC≌△EBF；

(2)试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切．

（1）∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°．

∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE．

在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；

（2）BD与⊙O相切．证明如下：

如图1，连接OB．

∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB．

∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC．

∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF．

∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切．