Question

（本小题10分）已知A， B，C是⊙O上的三个点，四边形OABC是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．

（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小；

（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小．

Answer

（Ⅰ）∠ADC=90°；（Ⅱ）∠FAB=15°．

【解析】

试题（Ⅰ）由切线的性质可得OC⊥CD，又由四边形OABC是平行四边形可得AD∥OC，即可求得∠ADC的度数．（Ⅱ）连接OB,易证△AOB是等边三角形；由OF∥CD可得∠AEO=∠ADC=90°；再根据垂径定理可得弧BF=弧AF，最后由圆周角定理即可求得∠FAB的度数．

试题解析：【解析】
（Ⅰ）∵CD为⊙O的切线，C为切点，

∴OC⊥CD,即∠OCD=90°．

∵四边形OABC是平行四边形，

∴AB∥OC，即AD∥OC．

有∠ADC+∠OCD=180°,

∴∠ADC=180°-∠OCD=90°．

（Ⅱ）

如图，连接OB,则OB=OA=OC．

∵四边形OABC是平行四边形，

∴OC=AB,

∴OA=OB=AB

即△AOB是等边三角形．

于是，∠AOB=60°．

由OF∥CD,又∠ADC=90°,

得∠AEO=∠ADC=90°．

∴OF⊥AB．有弧BF=弧AF．

∴∠FOB=∠FOA=∠AOB=30°．

∴∠FAB=∠FOB=15°．