Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C(－2，0)，D(－8，0)两点，与y轴相切于点B(0，4)．

(1)求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数表达式；

(2)设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切．

Answer

（1）y＝x2＋x＋4；（2）详见解析.

【解析】

（1）把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入二次函数的解析式即可得到结果；

（2）由yx2x+4（x+5）2，得到顶点坐标E（﹣5，），求得直线CE的函数解析式y，在y中，令x=0，y，得到G（0，），如图1，连接AB，AC，AG，得BG=OB﹣OG=4，CG，得到BG=CG，AB=AC，证得△ABG≌△ACG，得到∠ACG=∠ABG，由于⊙A与y轴相切于点B（0，4），于是得到∠ABG=90°，即可求得结论．

（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，把B（0，4），C（﹣2，0），D（﹣8，0）代入得：，解得：，∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：yx2x+4；

（2）∵yx2x+4（x+5）2，∴E（﹣5，），设直线CE的函数解析式为y=mx+n，直线CE与y轴交于点G，则，解得：，∴y，在y中，令x=0，y，∴G（0，），如图1，连接AB，AC，AG，则BG=OB﹣OG=4，CG，∴BG=CG，AB=AC．在△ABG与△ACG中，∵，∴△ABG≌△ACG，∴∠ACG=∠ABG．

∵⊙A与y轴相切于点B（0，4），∴∠ABG=90°，∴∠ACG=∠ABG=90°

∵点C在⊙A上，∴直线CE与⊙A相切．