Question

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．

(1)求抛物线对应的函数表达式；

(2)以AB为直径作⊙M，一直线经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求该直线对应的函数表达式．

Answer

（1）y＝－x2－x＋2；（2）y＝－x－或y＝x－.

【解析】

（1）只需运用待定系数法就可解决问题；

（2）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图2，根据切线的性质可得MF⊥EN．易得M的坐标、ME、MF、EF的长，易证△MEF∽△NEM，根据相似三角形的性质可求出MN，从而得到点N的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题．

（1）如图1，由题可得：

，解得：，∴抛物线的解析式为yx2x+2；

（2）设过点E的直线与⊙M相切于点F，与x轴交于点N，连接MF，如图2，则有MF⊥EN．

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB=6，MF=MB=MA=3，∴点M的坐标为（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．

∵E（﹣1，﹣5），∴ME=5，∠EMN=90°．

在Rt△MFE中，EF4．

∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，∴△MEF∽△NEM，∴，∴，∴NM，∴点N的坐标为（﹣1，0）或（﹣1，0），即（，0）或（，0）．

设直线EN的解析式为y=px+q．

①当点N的坐标为（，0）时，，解得：，∴直线EN的解析式为y．

②当点N的坐标为（，0）时，同理可得：直线EN的解析式为y．

综上所述：所求直线的解析式为y或y．