Question

如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C(0，4)，与x轴相交于A、B两点，且AB＝6.

(1)求D点的坐标和圆D的半径；

(2)求sin ∠ACB的值和经过C、A、B三点的抛物线对应的函数表达式；

(3)设抛物线的顶点为F，证明直线AF与圆D相切．

Answer

（1）点D的坐标为(5，4)，圆的半径为5；（2）sin∠ACB＝，y＝x2－x＋4；（3）详见解析.

【解析】

（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．依据垂径定理可知AE=3，然后依据切线的性质可知CD⊥y轴，然后可证明四边形OCDE为矩形，则DE=4，然后依据勾股定理可求得AD的长，故此可求得⊙D的半径和点D的坐标；

（2）先求得A（2，0）、B（8，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入可求得a的值．根据三角形面积公式得：S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO，代入计算即可；

（3）求得抛物线的顶点F的坐标，然后求得DF和AF的长，依据勾股定理的逆定理可证明△DAF为直角三角形，则∠DAF=90°，故此AF是⊙D的切线．

（1）连接CD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接AD．

∵DE⊥AB，∴AEAB=3．

∵⊙D与y轴相切，∴DC⊥y轴．

∵∠COE=∠OED=∠OCD=90°，∴四边形OCDE为矩形，∴OC=DE．

∵C（0，4），∴DE=4．

在Rt△AED中，AD5，∴⊙D的半径为5，∴D（5，4）．

故答案为：（5，4），5．

（2）如图1所示：

∵D（5，4），∴E（5，0），∴A（2，0）、B（8，0）．

设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），将点C的坐标代入得：16a=4，解得：a，∴抛物线的解析式为yx2x+4．

∵S△ABC=BC×ACsin∠ACB=AB×CO，∴sin∠ACB==．

（3）连接DF，如图2．

∵yx2x+4=，∴抛物线的顶点坐标F（5，），∴DF=4，AF．

又∵AD=5，∴AD2+AF2=DF2，∴△DAF为直角三角形，∴∠DAF=90°，∴AF是⊙D的切线．