Question

如图,AB、CD交于点O,∠AOE=4∠DOE,∠AOE的余角比∠DOE小10°(题中所说的角均是小于平角的角).

(1)求∠AOE的度数；

(2)请写出∠AOC在图中的所有补角；

(3)从点O向直线AB的右侧引出一条射线OP,当∠COP=∠AOE+∠DOP时,求∠BOP的度数.

Answer

（1）∠AOE=80°；（2）∠AOD、∠BOC、∠BOE；（3），∠BOP的度数为130°或30°.

【解析】

（1）根据余角的定义及题意可得∠DOE=100°-∠AOE，再由∠AOE=4∠DOE即可求得∠AOE的度数；（2）根据补角的定义可得∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC+∠BOC=180°，根据已知条件及（1）的结论可证得∠AOC+∠BOE=180°，即可得∠AOC的补角有∠AOD、∠BOC、∠BOE；（3）根据已知条件求得∠COP=130°， ∠DOP=50°，再分OP在直线CD上方和下方两种情况求解即可.

（1）∵∠AOE的余角比∠DOE小10°，

∴90°－∠AOE=∠DOE-10°，

∴∠DOE=100°-∠AOE

∵∠AOE=4∠DOE，

∴∠AOE=4（100°-∠AOE）

∴∠AOE=80°，

即：∠AOE的度数为80°；

（2）由题意可知：∠AOC+∠AOD=180°，∠AOC+∠BOC=180°，

∴∠AOC的补角有：∠AOD、∠BOC；

∵∠AOE=4∠DOE，∠AOE=80°，

∴∠DOE=20°，

∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=100°，

∴∠BOD=∠AOC =80°，

∴∠BOE=∠BOD+∠DOE=80°+20°=100°，

∴∠AOC+∠BOE=80°+100°=180°.

∴∠BOE是∠AOC的补角.

综上，∠AOC的补角有：∠AOD、∠BOC、∠BOE；

（3）由（1）可得∠AOE=80°，∠DOE=∠AOE =20°，

∴∠AOD=∠AOE+∠DOE=100°，∠BOD=180°-∠A OD=80°，

∵∠COP=∠AOE+∠DOP，

∴∠COP-∠DOP =∠AOE=80°，

∵∠COP+∠DOP=180°，

∴∠COP=130°， ∠DOP=50°，

当OP在直线CD上方时（如图），

∴∠BOP=∠BOD+ ∠DOP=80°+50°=130°；

∠BOP=∠BOD- ∠DOP=80°-50°=-30°；

综上，∠BOP的度数为130°或30°.