Question

已知O为直线AB上的一点,∠COE是直角,OF平分∠AOE(图中所说的角都是小于平角的角).

(1)如图1,若∠COF=28°,则∠BOE=______°；若∠COF=则∠BOE=_______；∠BOE与∠COF的数量关系为_________；

(2)将∠COE绕点O逆时针旋转到如图2所示的位置时,(1)中∠BOE和∠COF的数量关系否仍然成立？若成立，请说明理由？若不成立，求出∠BOE与∠COF的数量关系；

(3)当∠COE绕点O顺时针旋转到如图3的位置时,(1)中∠BOE和∠COF的数量关系是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立,请求出∠BOE与∠COF的数量关系.

Answer

(1) 56°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）成立，理由详见解析；（3）∠BOE和∠COF的关系不成立，∠BOE和∠COF的关系为∠BOE＋2∠EOF＝360°，理由详见解析.

【解析】

（1）已知∠COF=28°，∠COE是直角，由此求得∠EOF=62°，再由OF平分∠AOE，根据角平分线的定义可得∠AOE=2∠EOF=124°，再由平角的定义即可求得∠BOE=56°；由∠COF=m°，∠COE是直角，可得∠EOF=90°-m°，已知OF平分∠AOE，由角平分线的定义可得∠AOE=2∠EOF=2（90°-m°），即可求得∠BOE=2m°，由此可得∠BOE=2∠COF；（2）成立，类比（1）的方法解答即可；（3）不成立，已知∠COE是直角，可得∠EOF＝∠COF－90°，已知OF平分∠AOE，由角平分线的可得∠AOE＝2∠EOF，再由平角的定义可得∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－2(∠COF－90°)＝360°－2∠COF，由此可得∠BOE＋2∠EOF＝360°.

（1）∵∠COF=28°，∠COE是直角，

∴∠EOF=90°-28°=62°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF=124°，

∴∠BOE=180°-124°=56°，

∵∠COF=m°，∠COE是直角，

∴∠EOF=90°-m°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF=2（90°-m°），

∴∠BOE=180°-2（90°-m°）=2m°，

∴∠BOE=2∠COF.

故答案是56°；2m°；∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE和∠COF的关系依然成立．

∵∠COE是直角，

∴∠EOF=90°-∠COF，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE=2∠EOF，

∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-2（90°-∠COF）=2∠COF．

（3）∠BOE和∠COF的关系不成立．理由如下：

∵∠COE是直角，

∴∠EOF＝∠COF－90°，

又∵OF平分∠AOE，

∴∠AOE＝2∠EOF，

∴∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－2(∠COF－90°)＝360°－2∠COF．

∴∠BOE＋2∠EOF＝360°.