Question

如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，AE＝2 cm，AD＝4 cm.则⊙O的直径BE的长是_____cm；△ABC的面积是_____cm²

Answer

6， 24

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥AC，，在Rt△ODA中运用勾股定理可以求出半径OD，即可求得直径BE的长；
（2）由切线长定理知，CD=BC，在Rt△ABC中运用勾股定理可以求出BC，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积．

1）连接OD，

∴OD⊥AC

∴△ODA是直角三角形

设半径为r

∴AO＝r＋2

∴

解之得：r＝3

∴BE＝6

（2）∵∠ABC=90°，

∴CB是⊙O的切线.

∵CB、CD是⊙O的切线，

∴CD=CB.

∵∠ABC=90°，

∴AB2+BC2=AC2，

即(2+6)2+BC2=(BC+4)2，

∴BC=6cm，

∴S△ABC=•AB•BC=×(2+6)×6=24（cm2）.

故答案为： (1). 6， (2). 24 .