Question

如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．

（1）求∠APB的度数；

（2）当OA＝3时，求AP的长．

Answer

（1）60°；（2）.

【解析】

试题(1)、方法1，根据四边形的内角和为360°，根据切线的性质可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度数，可将∠APB的度数求出；方法2，证明△ABP为等边三角形，从而可将∠APB的度数求出；

(2)、方法1，作辅助线，连接OP，在Rt△OAP中，利用三角函数，可将AP的长求出；方法2，作辅助线，过点O作OD⊥AB于点D，在Rt△OAD中，将AD的长求出，从而将AB的长求出，也即AP的长．

试题解析：(1)、方法一： ∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°， ∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，

∵PA、PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°， ∴在四边形OAPB中，

∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°．

方法二： ∵PA、PB是⊙O的切线∴PA=PB，OA⊥PA；

∵∠OAB=30°，OA⊥PA， ∴∠BAP=90°﹣30°=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠APB=60°．

(2)、方法一：如图①，连接OP； ∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，

又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°， ∴AP==3．

方法二：如图②，作OD⊥AB交AB于点D； ∵在△OAB中，OA=OB， ∴AD=AB；

∵在Rt△AOD中，OA=3，∠OAD=30° ∴AD=OA•cos30°=， ∴AP=AB=3．