Question

如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90^o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．

(1)求⊙O的直径BE的长；

(2)计算△ABC的面积．

Answer

（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..

【解析】

（1）连接OD，由切线的性质得OD⊥AC，，在Rt△ODA中运用勾股定理可以求出半径OD，即可求得直径BE的长；

（2）由切线长定理知，CD=BC，在Rt△ABC中运用勾股定理可以求出BC，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积．

（1）连接OD，

∴OD⊥AC

∴△ODA是直角三角形

设半径为r

∴AO＝r＋2

∴

解之得：r＝3

∴BE＝6

(2)∵∠ABC＝900

∴OB⊥BC

∴BC是⊙O的切线

∵CD切⊙O于D

∴CB＝CD

令CB＝x

∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8

∵

∴x＝6.

∴S△ABC＝24（cm2）.

故答案为：（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..