Question

复习“平行线”内容时，老师布置了一道思考题：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE⊥AB，EF⊥DE，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系.

(1)请你完成这道思考题；

(2)若将题中的条件“DE⊥AB，EF⊥DE，点P是FC上一点”改为“∠AED=∠C，∠B=∠DEF，点P是BC上一点(点P不与点F重合)”，其他条件均不变，则(1)中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，作出判断并说明理由.

Answer

(1)∠BDP+∠EGP=180°；(2)当点P在线段BF上时，∠BDP=∠EGP；当点P在线段CF上时，∠BDP+∠EGP=180°.

【解析】

（1）根据“垂直于同一直线的两直线平行”得到AB∥EF，再根据平行线的性质得到∠BDP+∠DGF=180°，进而证明∠BDP+∠EGP=180°；

（2）先根据平行线的判定得到DE∥BC，AB∥EF，再分情况讨论，如图甲所示，点P在线段BF上，根据平行线的性质得到∠BDP=∠EGP；如图乙所示，点P在线段CF上，根据平行线的性质得到∠BDP+∠EGP=180°.

【解析】
(1)∠BDP+∠EGP=180°.理由如下：

∵DE⊥AB，EF⊥DE，

∴AB∥EF（垂直于同一直线的两直线平行），

∴∠BDP+∠DGF=180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∠DGF=∠EGP，

∴∠BDP+∠EGP=180°；

(2)当点P在线段BF上时，∠BDP=∠EGP；当点P在线段CF上时，∠BDP+∠EGP=180°.理由如下：

∵∠AED=∠C，

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.

∴∠ADE=∠B（两直线平行，同位角相等）.

又∵∠B=∠DEF.

∴∠ADE=∠DEF（等量代换）.

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.

如图甲所示，点P在线段BF上，

∵AB∥EF，

∴∠BDP=∠EGP（两直线平行，内错角相等）.

如图乙所示，点P在线段CF上，

∵AB∥EF，

∴∠BDP+∠DGF=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

又∵∠DGF=∠EGP，

∴∠BDP+∠EGP=180°.