Question

将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=8，如图在OC边上取一点D，将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边上，记作E点；

（1）求点E的坐标及折痕DB的长；

（2）在x轴上取两点M、N（点M在点N的左侧），且MN=4.5，求使四边形BDMN的周长最短的点M、点N的坐标。

Answer

（1）E（4，0）；DB=5；（2）M（1.5，0）；N（6，0）；

【解析】

(1)、根据矩形的性质得到BC=OA=10，AB=OC=8，再根据折叠的性质得到BC=BE=10，DC=DE，易得AE=6，则OE=10-6=4，即可得到E点坐标；在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC-DC=OC-DE=8-x，利用勾股定理可计算出x，再在Rt△BDE中，利用勾股定理计算出BD；(2)、以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，则易得到B′的坐标，D′的坐标，然后利用待定系数法求出直线D′B′的解析式，令y=0，得-2x+12=0，确定N点坐标，也即可得到M点坐标．

(1)、∵四边形OABC为矩形， ∴BC=OA=10，AB=OC=8，

∵△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在OA边E点上， ∴BC=BE=10，DC=DE，

在Rt△ABE中，BE=10，AB=8， ∴AE=6， ∴OE=10-6=4， ∴E点坐标为（4，0）；

在Rt△ODE中，设DE=x，则OD=OC-DC=OC-DE=8-x， ∴x2=42+（8-x）2，解得x=5，

在Rt△BDE中， BD=；

(2)、以D、M、N为顶点作平行四边形DMND′，作出点B关于x轴对称点B′，如图，

∴B′的坐标为（10，-8），DD′=MN=4.5，∴D′的坐标为（4.5，3），

设直线D′B′的解析式为y=kx+b，

把B′（10，-8），D′（4.5，3）代入得，10k+b=-8，4.5k+b=3，解得k=-2，b=12，

∴直线D′B′的解析式为y=-2x+12， 令y=0，得-2x+12=0，解得x=6，

∴M（1.5，0）；N（6，0）．