Question

如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．

Answer

见解析。

【解析】

求出∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°，根据ASA可证明Rt△BEF≌Rt△BEC，即可得CF=2CE，由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，根据BD是∠ABC的平分线可得∠F=∠ADB=67.5°，通过AAS可证明△ABD≌△ACF，根据全等三角形性质可得BD=CF，即可证明BD=2CE．

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠FBE=∠CBE，

∵BE⊥CF，

∴∠BEF=∠BEC=90°，

在Rt△BEF和Rt△BEC中，，

∴Rt△BEF≌Rt△BEC（ASA）．

∴CE=EF，

∴CF=2CE，

∵∠BAC=90°，且AB=AC，

∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠FBE=∠CBE=22.5°，

∴∠F=90°-22.5°=67.5°，∠ADB=90°-22.5°=67.5°，

∴∠F=∠ADB，

在△ABD和△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD=CF，

∵CF=2CE，

∴BD=2CE．