Question

如图，等腰直角三角形ABD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，作△ABD关于直线BD对称的△CBD，已知点F为线段AB上一点，且AF＝m，连接CF，作∠FCE＝90°，CE交AD的延长线于点E．

（1）求证：△BCF≌△DCE；

（2）若AE＝n，且mn＝3，求m²+n²的值．

Answer

（1）证明见解析（2）10

【解析】

（1）首先证明四边形ABCD是正方形，再根据ASA证明△CDF≌△CBF即可；

（2）由△CDF≌△CBF，推出DE＝BF＝n﹣2＝2﹣m，可得m+n＝4，再利用完全平方公式即可解决问题；

（1）证明：∵△BCD与△BAD关于直线BD对称，

∴BA＝BC，DA＝DC，

∵∠A＝90°，AB＝AD＝2，

∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，

∴四边形ABCD是菱形，

∵∠A＝90°，'

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠DCB＝∠ECF＝90°，

∴∠ECD＝∠FCB，

∵∠CDE＝∠CBF＝90°，CD＝CB，

∴△CDF≌△CBF（ASA）．

（2）【解析】
∵△CDF≌△CBF，

∴DE＝BF＝n﹣2＝2﹣m，

∴m+n＝4，

∴m2+2mn+n2＝16，

∵mn＝3，

∴m2+n2＝10．