Question

△ABC中，∠BAC＞90°，∠ACB＝∠ABC＝α，点D为BC边上任意一点，点E在AD延长线上，且BC＝BE．

（1）当α＝30°，点D恰好为BC中点时，补全图1，求∠BEA的度数；

（2）如图2，若∠BAE＝2α，此时恰好DB＝DE，连接CE，求证：△ABE≌△CEB．

Answer

（1）30°（2）证明见解析

【解析】

（1）只要证明AE⊥BC，△BCE是等边三角形即可解决问题；

（2）如图2中，延长CA到F，使得BF＝BC，则BF＝BE＝BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N，只要证明Rt△BMF≌Rt△BNE，推出∠BEA＝∠F，由BF＝BC，推出∠F＝∠C＝α，推出∠BEA＝α即可．

（1）补全图1，如图所示．

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AE⊥BC，

∴EB＝EC，∠ADB＝90°，

∵∠ABC＝30°，

∴∠BAE＝60°

∵BC＝BE，

∴△BCE是等边三角形，∠DEB＝∠DEC，

∴∠BEA＝30°；

（2）延长CA到F，使得BF＝BC，则BF＝BE＝BC，连接BF，作BM⊥AF于M，BN⊥AE于N，

∵∠ACB＝∠ABC＝α，

∴∠FAB＝∠ABC+∠ACB＝2α，

∵∠BAE＝2α，

∴∠MAB＝∠NAB，

∴BM＝BN，

在Rt△BMF与Rt△BNE中，

，

∴Rt△BMF≌Rt△BNE（HL），

∴∠F＝∠AEB，

∵BF＝BC，

∴∠F＝∠ACB＝α，

∴∠AEB＝α，

∴∠ACB＝∠AEB，

∴A，B，E，C四点共圆，

∴∠BAE＝∠ECB，

在△ABE与△CEB中，

，

∴ABE≌△CEB（AAS）．