Question

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，则∠A，∠B，∠C，∠D四个角的数量关系是　   　；

（2）如图2，若∠BCD，∠ADE的角平分线CP，DP交于点P，则∠P与∠A，∠B的数量关系为∠P＝　   　；

（3）如图3，CM，DN分别平分∠BCD，∠ADE，当∠A+∠B＝80°时，试求∠M+∠N的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；

（4）如图4，如果∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，当∠A+∠B＝n°时，试求∠M+∠N的度数．

Answer

（1）∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）90°﹣（∠A+∠B）；（3）∠CMN+∠DNM＝230°；（4）∠CMN+∠DNM＝240°﹣n°．

【解析】

（1）由三角形的内角和均为180°及图中∠AOB和∠COD为对顶角可知∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）设∠PCD＝x，∠ADP＝y，由CP，DP均为角平分线可得∠BCD＝2x，∠ADE＝2y；再由三角形外角和定理可得∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，则可求得∠COD＝2∠P；由三角形内角和定理以及∠COD和∠AOB是对顶角可得，∠COD+∠A+∠B＝180°，再用∠COD＝2∠P进行替换可得∠P＝90°﹣（∠A+∠B）；

（3）延长CM、DN交于点P，由上一问结论可知∠P＝90°﹣（∠A+∠B），结合题干所给条件易求得∠P＝50°，由三角形内角和定理可得∠PMN+∠PNM＝130°，则∠M+∠N＝360°-(∠PMN+∠PNM)=360°﹣130°＝230°；

（4）延长CM、DN交于点P，设∠PCD＝x，∠ADP＝2y，由∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE易得∠NDE＝y，∠BCD=3x，再由三角形外角和定理以及内角和定理易得∠P＝y﹣x，∠COD＝3y﹣3x，则∠COD＝3∠P；由三角形内角和定理可得3∠P+∠A+∠B＝180°，题干已知∠A+∠B＝n°，则可知∠P＝，同上问∠CMN+∠DNM＝360°﹣(∠PMN+∠PNM)=360°-（120°+）＝240°﹣．

【解析】
（1）如图1，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，

在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

故答案为：∠A+∠B＝∠C+∠D；

（2）设∠PCD＝x，∠ADP＝y，

∵CP，DP分别平分∠BCD，∠ADE，

∴∠BCD＝2x，∠ADE＝2y，

∵∠P＝∠PDE﹣∠PCD＝y﹣x，

∠COD＝∠ODE﹣∠BCD＝2y﹣2x，

∴∠COD＝2∠P，

∵∠COD+∠A+∠B＝180°，

∴2∠P+∠A+∠B＝180°，

∴∠P＝90°﹣（∠A+∠B）；

故答案为：90°﹣（∠A+∠B）；

（3）延长CM、DN交于点P，

由（2）知：∠P＝90°﹣（∠A+∠B），

∵∠A+∠B＝80°，

∴∠P＝50°，

∴∠PMN+∠PNM＝130°，

∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣130°＝230°；

（4）延长CM、DN交于点P，

设∠PCD＝x，∠ADP＝2y，

∵∠MCD＝∠BCD，∠NDE＝∠ADE，

∴∠NDE＝y，∠BCD=3x，

∴∠P＝y﹣x，∠COD＝3y﹣3x，

∴∠COD＝3∠P，

∴3∠P+∠A+∠B＝180°，

∵∠A+∠B＝n°，

∴∠P＝，

∴∠PMN+∠PNM＝180°﹣＝120°+，

∴∠CMN+∠DNM＝360°﹣（120°+）＝240°﹣．