Question

已知：在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D，BE⊥AD于E．

（1）如图l，求证：AC﹣AB＝2BE．

（2）如图2，将∠DCA沿直线AC翻折，交BA的延长线于点M，连接MD交AC于点N；MA＝BA，BE＝1，AB＝，求AN的长．

Answer

(1)见解析;(2)2-.

【解析】

（1）延长BE交AC于F．由AD平分∠BAC得∠1＝∠2，再由BE⊥AD及公共边AE可证△AEB≌△AEF，由全等的性质可知AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，则BF＝2BE；由三角形外角和可知∠4＝∠5+∠C，则∠ABC＝∠3+∠5=∠4+∠5=2∠5+∠C，再由∠ABC＝3∠C可知∠5＝∠C，则CF＝BF＝2BE，据此即可证明；

（2）作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，易证△AHB≌△AKM，据此可证明△BCA≌△MCA，可得∠CAB＝∠CAM＝；再由勾股定理计算可得AE=BE=1，由题干条件及上问证明可得AB=AD，从而得到MD⊥BC，进而得到∠NCD＝∠BMD；再通过△AEB是直角等腰三角形可证明△MDC也是直角等腰三角形，可证明△MBD≌△CND，则可通过计算AC和CN的长度，通过AN＝AC﹣CN进行计算.

【解析】
（1）延长BE交AC于F．

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2．

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝AEF＝90°．

∵∠1＝∠2，∠AEB＝AEF＝90°，AE=AE，

∴△AEB≌△AEF（ASA）

∴AB＝AF，∠3＝∠4，BE＝FE，

∴BF＝2BE．

∵∠4＝∠5+∠C，

∴∠3＝∠5+∠C，

∵∠ABC＝∠3+∠5，

∴∠ABC＝∠5+∠C+∠5＝2∠5+∠C＝3∠C，

∴∠5＝∠C，

∴CF＝BF＝2BE．

∵AC﹣AF＝FC，

∴AC﹣AB＝2BE；

（2）作AH⊥BC于H，AK⊥CM于K，

∵∠ACH＝∠ACK，

∴AH＝AK，

∵AB＝AM，

∴△AHB≌△AKM，

∴∠ABH＝∠AMK，

∴CB＝CM，

∵AC＝AC，CB＝CM，AB＝AM，

∴△BCA≌△MCA，

∴∠CAB＝∠CAM＝，

∵BE⊥AD，

∴∠AEB＝90°．

∵BE＝1，AB＝，由勾股定理，得

∴AE＝1，

∴AE＝BE，

∴∠BAE=∠ABE

由上问证明可知，∠BAN=∠CAD，∠EBD=∠ACB，

∴∠ABD=∠ABE+∠EBD,∠ADB=∠CAD+∠ACB，

∴∠ABD=∠ADB,

∴AB=AD，

∵AM＝AB，

∴AD＝AB＝AM，

∴△DBM是直角三角形，

∴∠BDM＝∠CDM＝90°．

∵∠MBD+∠NCD＝90°，∠MBD+∠BMD=90°，

∴∠NCD＝∠BMD，

∵BE⊥AD，AE＝BE，

∴∠BAE＝∠ABE＝45°．

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，

∴∠ABC+∠ACB＝90°．

∵∠ABC＝3∠ACB，

∴∠ACB＝22.5°，

∴∠BCM＝45°，

∴∠DMC＝45°，

∴∠BCM＝∠DMC，

∴DM＝DC．

∵∠BDM=∠CDM=90°，DM=DC，∠BMD＝∠NCD，

∴△MBD≌△CND（ASA），

∴CN＝BM＝2AB＝2，

∴AC＝2BE+AB＝2+，

∴AN＝AC﹣CN＝2﹣．