Question

如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；

（2）∠A=60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF=60°，可以证出结论．

（1）证明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△DBE和△ECF中，

，

∴△DBE≌△ECF，

∴DE=FE，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，

理由：∵△BDE≌△CEF，

∴∠FEC=∠BDE，

∴∠DEF=180°-∠BED-∠EFC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B

要△DEF是等边三角形，只要∠DEF=60°．

所以，当∠A=60°时，∠B=∠DEF=60°，

则△DEF是等边三角形．