Question

如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,4)在 y 轴上,点 B(b,0)是 x 轴上一动点,且 4＜ b ＜4,△ABC 是以 AB 为直角边,B 为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)求点 C 的坐标(用含 b 的式子表示)；

(2)以 x 轴为对称轴,作点 C 的对称点 C 连接 BC、AC，请把图形补充完整,并求出△ABC的面积(用含 b 的式子表示)；

(3)点 B 在运动过程中, OAC 的度数是否发生变化,若变化请说明理由；若不变化,请直接 写出 OAC 的度数.

Answer

（1）点；（2）；（3）不变化，.

【解析】

（1）过点C作CE⊥x轴，垂足为E，由题意可证△ABO≌△BCE，可得BE=OA=4，BO=EC=-b，则OE=4+b，即求点C的坐标；

（2）根据题意补全图形，根据S△ABC'=S△ABO+S梯形AOEC'-S△BEC'=×（-b）×4+×（4-b）（4+b）-×4×（-b），可求△ABC′的面积；

（3）过点A作AF⊥EC'，垂足为F，可证四边形AOEF是矩形，可得AO=EF=4，OE=AF=4+b，可证AF=C'F=4+b，可得∠FAC'=45°，且∠OAF=90°，可求∠OAC'=45°．

（1）如图，过点C作CE⊥x轴，垂足为E，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵∠ABE+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠ABE=∠BCE，且AB=BC，∠AOB=∠BEC=90°，

∴△ABO≌△BCE（AAS）

∴BO=CE，AO=BE，

∵点A（0，4），点B（b，0），且-4＜b＜0，

∴BE=OA=4，BO=EC=-b，

∴OE=4+b

∴点C坐标（4+b，b）

（2）根据题意画出图形，如下图，

∵点C与点C'关于x轴对称，

∴点C'（4+b，-b），C'C⊥x轴，

∵S△ABC'=S△ABO+S梯形AOEC'-S△BEC'=×（-b）×4+×（4-b）（4+b）-×4×（-b），

∴S△ABC'=8-b2，

（3）点B在运动过程中，∠OAC′的度数不发生变化，

理由如下：如图，过点A作AF⊥EC'，垂足为F，

∵AF⊥EC'，EC'⊥BE，AO⊥OE，

∴四边形AOEF是矩形，

∴AO=EF=4，OE=AF=4+b，

∵C'F=EF-EC'=4-（-b）=4+b，

∴AF=C'F，且∠AFE=90°，

∴∠FAC'=45°，且∠OAF=90°，

∴∠OAC'=45°