Question

在四边形 ABCD 中,BC=CD,连接 AC、BD,∠ADB=90°.

(1)如图 1,若 AD=BD=BC,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F,交 AC 于点 E:

①求∠DAC；

②猜想 AE、DE、CE 的数量关系,并证明你的猜想；

(2)如图 2,若 AC=BD,求∠DAC 的度数.

Answer

（1）①，②，证明见解析；（2）

【解析】

（1）①只要证明DA=DC，∠ADC=150°即可解决问题；

②结论：EC=ED+EA．如图1中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EH=EB．由△EBD≌△HBC（SAS），推出DE=CH，可得EC=EH+CH=EB+ED=EA+ED解决问题；

（2）如图2中，作CK⊥BD于K，CH⊥AD交AD的延长线于H．首先证明四边形DHCK是矩形，再证明CH=AC，即可解决问题；

（1）①如图1中，

∵AD=BD=BC，BC=CD，

∴BD=BC=CD，

∴△BDC是等边三角形，

∴∠CDB=60°，

∵∠ADB=90°，

∴∠ADC=90°+60°=150°，

∵DA=DC，

∴∠DAC=∠DCA=15°，

②结论：EC=ED+EA．如图1中，设AC交BD于点O，连接BE，在EC上截取EH=EB．

∵DA=DB，DF⊥AB，

∴AF=FB，

∴EA=EB，

∴∠DAF=∠DBF，∠EAB=∠EBA，

∴∠DAE=∠DBE，

∵∠DAE=∠DCO，

∴∠DCO=∠OBE，

∵∠DOC=∠EOB，

∴∠BEO=∠ODC=60°，

∵EH=EB，

∴△EBH是等边三角形，

∴∠EBH=∠DBC=60°，BE=BH，

∴∠EBD=∠HBC，∵BD=BC，

∴△EBD≌△HBC（SAS），

∴DE=CH，

∴EC=EH+CH=EB+ED=EA+ED．

（3）如图2中，作CK⊥BD于K，CH⊥AD交AD的延长线于H．

∵∠H=∠CKD=∠HDK=90°，

∴四边形DHCK是矩形，

∴DK=CH，

∵CD=CB．CK⊥BD，

∴DK=BD，

∵AC=BD，

∴CH=AC，

在Rt△ACH中，sin∠CAD=，

∴∠CAD=30°．