Question

已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程4kx²－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x₁－x₂)(x₁－2x₂)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer

不存在，理由详见解析.

【解析】

由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）=-中，进而可求k的值．

∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，

∴x1+x2=1，x1x2=，

∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，

若2﹣=﹣成立，

解上述方程得，k=，

∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，

∴k＜0，∵k=，

∴矛盾，

∴不存在这样k的值；