Question

设x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²＋2ax＋a²＋4a－2＝0的两个实数根，当a为何值时，x₁²＋x₂²有最小值？最小值是多少？

Answer

【解析】

设x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2ax+a2+4a-2=0的两实根，根据判别式△=（2a）2-4（a2+4a-2）≥0可求得a≤，可得a的取值范围．对要求值的式子化简：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=2（a-2）2-4，这是一个关于a的一元二次方程，其对称轴是a=2，开口方向向上．根据开口向上的二次函数的性质：距对称轴越近，其函数值越小．故在a≤的范围内，当a＝时，x12+x22的值最小；此时x12＋x22＝2－4＝，即最小值为.

∵方程有两个实数根，

∴Δ＝(2a)2－4(a2＋4a－2)≥0，

∴a≤.

又∵x1＋x2＝－2a，x1x2＝a2＋4a－2，

∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝2(a－2)2－4.

∵a≤，

∴当a＝时，x12＋x22的值最小．

此时x12＋x22＝2－4＝，即最小值为.