Question

已知关于x的方程x² -(m+1)x+2(m-1)=0，

（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.

Answer

证明见解析 4和2

【解析】

(1)根据方程的系数结合根的判别式即可得出△＝(m－3)2≥0，由此即可证出结论；(2)由等腰三角形的性质可知b＝c或b、c中有一个为4，①当b＝c时，根据根的判别式△＝(m－3)2＝0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为4时，将x＝4代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论.

（1）证明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0，

∴无论m取何值，这个方程总有实数根；

（2）若腰长为4，将x=4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）=0，

解得：m=5，

∴原方程为x2﹣6x+8=0，

解得：x1=2，x2=4．

组成三角形的三边长度为2、4、4；

若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，

∴△=0，即m=3，

此时方程为x2﹣4x+4=0，

解得：x1=x2=2，

由于2+2=4，不能构成三角形，舍去；

所以三角形另外两边长度为4和2．