Question

如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点．

（1）求出A，B两点的坐标；

（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；

（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S_△PDE=S_△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）A（﹣8，0），B（0，﹣6）;（2）；（3）存在．P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）时，使得．

【解析】（1）令已知的直线的解析式中x=0，可求出B点坐标，令y=0，可求出A点坐标；（2）根据A、B的坐标易得到M点坐标，若抛物线的顶点C在⊙M上，那么C点必为抛物线对称轴与⊙O的交点；根据A、B的坐标可求出AB的长，进而可得到⊙M的半径及C点的坐标，再用待定系数法求解即可；

（3）在（2）中已经求得了C点坐标，即可得到AC、BC的长；由圆周角定理:

∠ ACB=90°，所以此题可根据两直角三角形的对应直角边的不同来求出不同的P点坐标．

本题解析：（1）对于直线，当时， ；当时，

所以A（﹣8，0），B（0，﹣6）；

（2）在Rt△AOB中，AB==10，∵∠AOB=90°，∴AB为⊙M的直径，

∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），∵MC∥y轴，MC=5，∴C（﹣4，2），

设抛物线的解析式为y=a(x+4)²+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a= ，

∴抛物线的解析式为 ，即；

（3）存在．

当y=0时， ，解得x，=﹣2，x，=﹣6，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

，

设P（t， -6），

∵

∴=20，

即||=1，当=-1，

解得， ，

此时P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）；

当时 ，解得=﹣4+， =﹣4﹣；

此时P点坐标为（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）．

综上所述，P点坐标为（﹣4+，-1）或（﹣4﹣，-1）或（﹣4+，1）或（﹣4﹣，1）时，使得．