Question

已知：如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O经过AB的中点C，与OB交于点D，且与BO的延长线交于点E，连接EC，CD．

（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并加以证明；

（2）若tanE=，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer

（1）AB与⊙O的位置关系是相切，证明见解析；（2）OA=5．

【解析】

（1）先判断AB与⊙O的位置关系，然后根据等腰三角形的性质即可解答本题；

（2）根据题三角形的相似可以求得BD的长，从而可以得到OA的长．

【解析】
（1）AB与⊙O的位置关系是相切，

证明：如图，连接OC．

∵OA=OB，C为AB的中点，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵ED是直径，

∴∠ECD=90°．

∴∠E+∠ODC=90°．

又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，

∴∠BCD=∠E．

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△BCD∽△BEC．

∴.

∴BC2=BD•BE．

∵，

∴．

∴．

设BD=x，则BC=2x．

又BC2=BD•BE，

∴（2x）2=x（x+6）．

解得x1=0，x2=2．

∵BD=x＞0，

∴BD=2．

∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．