Question

如图，已知抛物线y=ax²+ x+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直线l：y=﹣ x﹣4与x轴交于点D，点P是抛物线y=ax²+x+c上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交直线l于点F．

（1）试求该抛物线表达式；   

（2）求证：点C在以AD为直径的圆上；

（3）是否存在点P使得四边形PCOF是平行四边形，若存在求出P点的坐标，不存在请说明理由。  

Answer

（1）y= x2+ x﹣4；（2）见解析；（3）（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．

【解析】

试题（1）将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式可得到关于a、c的方程组，然后解方程组求得a、c的值即可；

（2）求出D点坐标，根据两点间距离公式分别求出AD、AC、CD的长，然后根据勾股定理的逆定理证明出△ADC为直角三角形即可得出结论；

（3）设P（m，m2＋m－4），则F（m，－m－4），则PF＝－m2－m，当PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形，然后依据PF＝OC列方程求解即可．

试题解析：

（1）【解析】
由题意得： ，解得： ，

∴抛物线的表达式为y＝ x2＋ x﹣4．

（2）证明：把y＝0代入y＝﹣ x﹣4得：﹣ x﹣4＝0，

解得：x＝﹣8．

∴D（﹣8，0）．

∴OD＝8．

∵A（2，0），C（0，﹣4），∴AD＝2﹣（﹣8）＝10．

由两点间的距离公式可知：AC2＝22＋42＝20，DC2＝82＋42＝80，AD2＝100，

∴AC2＋CD2＝AD2 ．

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，

∴点C在以AD为直径的圆上；

(3)【解析】
设P（m， m2＋ m﹣4），则F（m，﹣ m﹣4）．

∴PF＝（﹣ m﹣4）﹣（ m2＋ m﹣4）＝﹣ m2﹣ m．

∵PE⊥x轴，∴PF∥OC．

∴PF＝OC时，四边形PCOF是平行四边形．

∴﹣ m2﹣ m＝4，解得：m＝﹣ 或m＝﹣8．

当m＝﹣ 时， m2＋ m﹣4＝﹣ ，

当m＝﹣8时， m2＋ m﹣4＝﹣4．

∴点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）或（﹣8，﹣4）．