Question

如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形ABCD是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）

关系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°．

已知：在四边形ABCD中，　　　　　　，　　　　　　；

求证：四边形ABCD是平行四边形．

Answer

已知：①③（或①④或②④或③④），证明见解析．

【解析】

试题根据平行四边形的判定方法就可以组合出不同的结论，然后即可证明．

其中解法一是证明两组对角相等的四边形是平行四边形；

解法二是证明两组对边平行的四边形是平行四边形；

解法三是证明一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

解法四是证明两组对角相等的四边形是平行四边形．

试题解析：已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．

解法一：

已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．

∵∠A=∠C，

∴∠B=∠D．

∴四边形ABCD是平行四边形．

解法二：

已知：在四边形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵∠B+∠C=180°，

∴AB∥CD，

又∵AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形；

解法三：

已知：在四边形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵∠B+∠C=180°，

∴AB∥CD，

又∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形；

解法四：

已知：在四边形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，

求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵∠B+∠C=180°，

∴AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

又∵∠A=∠C，

∴∠B=∠D，

∴四边形ABCD是平行四边形．