Question

如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.

（1）试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；

（2）求证：∠DHF=∠DEF.

Answer

（1）DE与FH相等. 理由见解析，（2）证明见解析.

【解析】

（1）DE=FH，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，利用三角形中位线定理可得到DE=AC，再根据直角三角形的性质得出FH=AC，进而得到DE=FH．
（2）利用已知条件先证明∠DHF=∠DAF，再证明∠DEF=∠DAF，进而可证明：∠DHF=∠DEF．

（1）DE与FH相等. 理由如下：

∵D、E分别是AB、BC边的中点,

∴DE∥AC，DE=AC，

∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点，

∴HF=AC，

∴DE=FH.

（2）∵D、E分别是AB、BC边的中点, AH⊥BC，

∴DH=AB，AD=AB，∴AD=DH，∴∠DAH=∠DHA，

同理可证：∠FAH=∠FHA，

∴∠DHF=∠DAF，

∵D、E分别是AB、BC边的中点，

∵AD∥EF，DE∥AF，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴∠DEF=∠DAF，

∴∠DHF=∠DEF.

故答案为：（1）DE与FH相等. 理由见解析，（2）证明见解析.