Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如4=2²﹣0²，12=4²﹣2²，20=6²﹣4²，因此，4，12，20这三个数都是“和谐数”．

（1）28和2016这两个数是“和谐数”吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数吗？为什么？

Answer

（1）2016不是“和谐数”；（2）由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．

【解析】试题（1）28=82－62， 28是“和谐数”，2016不能表示成两个连续偶数的平方差， 2016不是“和谐数”；（2）计算出（2k+2）2－（2k）2得4（2k+1），由k为非负整数，可得2k+1一定为正整数，即4（2k+1）一定能被4整除，故由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．

试题解析：

【解析】
（1）∵28=82－62，∴28是“和谐数”，

∵2016不能表示成两个连续偶数的平方差，∴2016不是“和谐数”；

（2）（2k+2）2－（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2－2k）=2（4k+2）=4（2k+1），

∵k为非负整数，

∴2k+1一定为正整数，

∴4（2k+1）一定能被4整除，

即由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数．