Question

已知，如图，在△ABC中，∠A=∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F．

（1）求证：∠F+∠FEC=2∠A；

（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）证明见解析（2）∠MBC=∠F+∠FEC，证明见解析

【解析】

试题分析:（1）根据三角形外角的性质，可得出∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，再根据∠A=∠ABC，即可得出答案；

（2）由BM∥AC，得出∠MBA=∠A，∠A=∠ABC，得出∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，结合（1）的结论证得答案即可．

（1）证明：∵∠FEC=∠A+∠ADE，∠F+∠BDF=∠ABC，

∴∠F+∠FEC=∠F+∠A+∠ADE，

∵∠ADE=∠BDF，

∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC，

∵∠A=∠ABC，

∴∠F+∠FEC=∠A+∠ABC=2∠A．

（2）∠MBC=∠F+∠FEC．

证明：∵BM∥AC，

∴∠MBA=∠A，、

∵∠A=∠ABC，

∴∠MBC=∠MBA+∠ABC=2∠A，

又∵∠F+∠FEC=2∠A，

∴∠MBC=∠F+∠FEC．