Question

如图，△ABC的三条角平分线相交于点I，过点I作DI⊥IC，交AC于点D.

(1)如图①，求证：∠AIB＝∠ADI；

(2)如图②，延长BI，交外角∠ACE的平分线于点F.

①判断DI与CF的位置关系，并说明理由；

②若∠BAC＝70°，求∠F的度数．

   

Answer

(1)证明见解析；(2)【解析】
①结论：DI∥CF，②35°.

【解析】（1）只要证明∠AIB=90°+∠ACB，∠ADI=90°+∠ACB即可；
（2）①只要证明∠IDC=∠DCF即可；
②首先求出∠ACE-∠ABC=∠BAC=70°，再证明∠F=∠ACE-∠ABC=（∠ACE-∠ABC）即可解决问题；

(1)证明：∵AI，BI分别平分∠BAC，∠ABC，

∴∠BAI＝∠BAC，∠ABI＝∠ABC，

∴∠BAI＋∠ABI＝ (∠BAC＋∠ABC)＝ (180°－∠ACB)＝90°－∠ACB.

在△ABI中，∠AIB＝180°－(∠BAI＋∠ABI)＝180°－(90°－∠ACB)＝90°＋∠ACB.

∵CI平分∠ACB，∴∠DCI＝∠ACB.∵DI⊥IC，

∴∠DIC＝90°，∴∠ADI＝∠DIC＋∠DCI＝90°＋∠ACB.

∴∠AIB＝∠ADI.

(2)【解析】
①结论：DI∥CF.

理由：∵∠IDC＝90°－∠DCI＝90°－∠ACB，CF平分∠ACE，

∴∠ACF=∠ACE＝ (180°－∠ACB)＝90°－∠ACB，∴∠IDC＝∠ACF，∴DI∥CF.

②∵∠ACE＝∠ABC＋∠BAC，∴∠ACE－∠ABC＝∠BAC＝70°.

∵∠FCE＝∠FBC＋∠F，∴∠F＝∠FCE－∠FBC.

∵∠FCE＝∠ACE，∠FBC＝∠ABC，

∴∠F＝∠ACE－∠ABC＝ (∠ACE－∠ABC)＝35°.