Question

如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=50°,点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),连接AD,作∠ADE=50°,DE交线段AC于点E.

(1)在点D的运动过程中,△ADE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出∠BDA的度数;若不可以,请说明理由.

(2)若DC=2,求证:△ABD≌△DCE.

Answer

（1）100°或115°（2）证明见解析

【解析】

（1）分两种情况进行讨论，根据三角形的外角性质，可得当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE的形状是等腰三角形；
（2）利用∠DEC+∠EDC=130°，∠ADB+∠EDC=130°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．

(1)△ADE的形状可以是等腰三角形

∵∠B=∠C=50°,∠ADE=50°,

∴∠BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°,

∴∠BDA=∠CED.

∵点D在线段BC上运动(点D不与B,C重合),

∴AD≠AE.

当EA=ED时,如图1所示,∠EAD=∠ADE=50°,

∴∠BDA=∠CED=50°+50°=100°;

当DA=DE时,如图2所示,∠EAD=∠AED=65°,

∴∠BDA=∠CED=65°+50°=115°.

综上,∠BDA为100°或115°.

(2) ∵DC=2, AB=AC=2,

∴AB=DC

由(1)可得∠BDA=∠CED,

在△ABD和△DCE中,

∴△ABD≌△DCE(AAS).