Question

如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．

求证：（1）∠APB=2∠ABC；

（2）AC∥OP．

Answer

（1）证明见解析（2）见解析

【解析】

(1)连接OA, ∠OAP＝∠OBP=90°,然后求出 PO垂直AB,从而导出∠APB＝2∠ABC；

(2) 连接AB交PO于F，根据切线的性质得到PO垂直平分AB，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠CAB=90°，于是∠CAB=∠OFB，所以AC∥OP．

（1）连接AO，

∵PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，

∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，

∴∠OAB=∠APB，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB，∴∠OBA=∠APO，∴∠APB=2∠ABC；

（2）设AB交OP于F，∵PA，PB是圆的切线，∴PA=PB，∵OA=OB ∴PO垂直平分AB．

∴∠OFB=90°．∵BC是直径，∴∠CAB=90°．∴∠CAB=∠OFB．∴AC∥OP．