Question

已知：△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=BC,点D为劣弧BC上的一点,连接BD、DC.

（1）如图1，若∠BDC＝120°，求证：△ABC是等边三角形；

（2）如图2，在(1)的条件下，线段CD绕点C顺时针旋转60°，得到线段CE,连接AE,求证：BD=AE；

（3）如图3，在(2)的条件下，连接OE,若⊙O的半径为，OE=2，求BD的长.

       

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）BD=3.

【解析】

（1）根据圆内接四边形的性质和等边三角形的判定解答即可；

（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；

（3）连接ED，利用勾股定理和直角三角形的性质解答即可．

证明：（1）∵四边形ABDC内接于⊙O，

∴∠BDC+∠BAC=180°，

∴∠BAC=180°-∠BOA=180°-120°=60°．

∵BA=BC，

∴△ABC是等边三角形．

（2）由（1）知△ABC是等边三角形，

∴∠BCA=60°，

∵∠DCE=60°，

∴∠BCA=∠DCE

 而∠BCA=∠BCE+∠ECA，∠DCE=∠BCD+∠BCE，

∴∠ECA=∠DCB，

∵在△CDB与△CEA中

，

∴△CDB≌△CEA（SAS）

∴DB=AE；

（3）连接ED，可知△CDE为等边三角形，

∴∠DCE=∠DEC=∠EDC=60°，

∵∠BDC=120°

由（2）知△CDB≌△CEA，

∴∠BDC=∠AEC=120°，∠DEC+∠AEC=180°，

∴A、E、D三点在同一直线上，连接OD、OC，

，

∵OD=OC，ED=EC，

∴OE是线段DC的中垂线，

∴OE是∠DEC平分线，

设直线OE与CD的交点为G，则有∠EDG=∠DEC=30°，

∴∠OEA=∠DEG=30°，

连接OA，过点O作OH⊥AE，垂足为H，

在直角三角形OEH中，OE=2，∠OEA=30°，

∴OH=OE=1

可得EH=，

在直角三角形OAH中，OA=，OH=1，根据勾股定理，得AH=2，

∴AE=AH+HE=3，

∴BD=AE=3．