Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与直线y＝x相交于点B，点B的横坐标为3，点A（0，6）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）动点P从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，过点P作直线y＝x的垂线，垂足为C，连接AP，AP的中点为D，连接CD，设CD＝d，点P运动的时间为t秒，求d与t的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当tan∠APC＝时，求t的值．

Answer

(1) y＝﹣x+6；(2)见解析;(3)t=或9.

【解析】

（1）根据题意将点B的横坐标代入y＝x中可以求得点B的坐标，然后根据点A和点B的坐标即可求得直线AB的解析式，用代入系数法求；
（2）根据题意可以画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法可以求得d与t的函数关系式；

（3）根据（2）中的条件和图形，可以求得相应的t的值．

【解析】
（1）∵直线AB与直线y＝x相交于点B，点B的横坐标为3，

∴点B的坐标为（3，3），

设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），

将A（0，6），B（3，3）代入y＝kx+b，得

，

解得：，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6；

（2）如图一所示，

∵点P从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，

∴点P的坐标为（，0），

∵点D为AP得中点，点A（0，﹣6），

∴点D的坐标为（，3），

∵PC⊥OB，直线OB的解析式为y＝x，点P的坐标为（，0），

∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，

∴OC＝t，

∴点C的坐标为：（，），

∵CD＝d，

∴d＝＝3﹣（0＜t≤3）；

如图二所示，

∵点P从原点O出发，以每秒个单位长度的速度沿x轴正方向运动，

∴点P的坐标为（，0），

∵点D为AP得中点，点A（0，﹣6），

∴点D的坐标为（，3），

∵PC⊥OB，直线OB的解析式为y＝x，点P的坐标为（，0），

∴∠PCO＝90°，∠BOP＝45°，

∴OC＝t，

∴点C的坐标为：（，），

∵CD＝d，

∴d＝＝﹣3（t＞3）；

（3）如图一所示，作DE⊥OB于点E，

∵PC⊥OB，DE⊥OB，

∴PC∥DE，

∴∠EDP＝∠APC，

∵DC＝3﹣，点D（，3），点C（，），

∴DC⊥x轴，

∴∠CDE＝45°，

∴CE＝DE＝＝，

∵PC＝t，tan∠APC＝，

∴tan∠EDP＝，

∴，

解得，t＝；

如图二所示，作DE⊥OB于点E，

∵PC⊥OB，DE⊥OB，

∴PC∥DE，

∴∠EDP＝∠APC，

∵DC＝﹣3，点D（，3），点C（，），

∴DC⊥x轴，

∴∠CDE＝45°，

∴CE＝DE＝＝，

∵PC＝t，tan∠APC＝，

∴tan∠ADE＝，

∴，

解得，t＝9．