Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）试说明：△COD是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形．

Answer

(1)见解析;(2)见解析;(3) 110°或125°或140°.

【解析】

（1）根据△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，得CO=CD，∠OCD=60°故△COD是等边三角形；（2）求得∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°即可知△AOD是直角三角形；（3）分别求出∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，再根据等腰三角形的底角相同分3中情况讨论.

【解析】
（1）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
 （2）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
（3）∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-60°-110°-α=190°-α，
当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°，解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，解得α=110°，
综上所述，∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．