Question

如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于E；延长PF交AB于G．求证：

（1）△AFG≌△AFP；

（2）△APG为等边三角形．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由折叠的性质得到M、N分别为AD、BC的中点，利用平行线分线段成比例得到F为PG的中点，再由折叠的性质得到AF垂直于PG，利用SAS即可得证；

（2）由（1）的全等三角形，得到对应边相等，利用三线合一得到∠2=∠3，由折叠的性质及等量代换得到∠PAG为60°，根据AP=AG且有一个角为60°即可得证．

（1）由折叠可得：M、N分别为AD、BC的中点，

∵DC∥MN∥AB，

∴F为PG的中点，即PF=GF，

由折叠可得：∠PFA=∠D=90°，∠1=∠2，

在△AFP和△AFG中，

，

∴△AFP≌△AFG（SAS）；

（2）∵△AFP≌△AFG，

∴AP=AG，

∵AF⊥PG，

∴∠2=∠3，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠2=∠3=30°，

∴∠2+∠3=60°，即∠PAG=60°，

∴△APG为等边三角形．