Question

如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点．当动点E，F满足BE＝CF时．

(1)写出所有以点E或F为顶点的全等三角形；(不得添加辅助线)

(2)求证：AE⊥BF.

Answer

(1) △ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF;(2)见解析

【解析】

试题

（1）由已知条件易得AB=BC，∠ABE=∠CBF=45°，结合BE=CF可得△ABE≌△BCF；由此可得∠AEB=∠CFB，从而可得∠AEO=∠BFO，结合∠AOE=∠BOF=90°及OA=OB可得△AOE≌△BOF；由∠ADE=∠BAF=45°，∠AED=∠BFA结合AD=AB即可得到△ADE≌△BAF；

（2）延长AE交BF于点M，由△ABE≌△BCF，可得∠BAE=∠CBF，结合∠CBF+∠ABF=90°可得∠BAE+∠ABM=90°，从而可得∠AMB=90°，由此即可得到AE⊥BF.

试题解析：

（1）由题意可得：

图中以点E或F为顶点的全等三角形有：△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF；

(2)延长AE交BF于点M，

∵△ABE≌△BCF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵∠CBF＋∠ABF＝90°，

∴∠BAE＋∠ABF＝90°，

∴∠AMB＝90°，

∴AE⊥BF.