Question

如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC.

(1)求证：△PMN是等边三角形；

(2)若AB＝9 cm，求CM的长度．

Answer

(1)见解析；（2）CM＝3cm

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C，进而得出∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM=∠PMN=∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；
（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA=BM=CN，PB=MC=AN，从而求得BM+PB=AB=9cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM，即可求得PB的长，进而得出CM的长．

【解析】
（1）∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°，
∴∠PMB=∠MNC=∠APN，
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP，
∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，
∴PA=BM=CN，PB=MC=AN，
∴BM+PB=AB=9cm，
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴2PB=BM，
∴2PB+PB=9cm，
∴PB=3cm，
∴CM=3cm．