Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：AE=CD；

（2）若AC=12cm，求BD的长．

Answer

（1）证明见解析（2）6cm

【解析】

（1）证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE和CD分别在三角形AEC和三角形CDB中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．

（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．

（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．

∴∠D=∠AEC．

又∵∠DBC=∠ECA=90°，

且BC=CA，

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE=CD．

（2）【解析】
由（1）得AE=CD，AC=BC，

∴△CDB≌△AEC（HL），

∴BD=CE，

∵AE是BC边上的中线，

∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．

∴BD=6cm．