Question

已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．

（1）求证：△AEB≌△CDA；   

（2）求∠BPQ的度数；

（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．

Answer

（1）见解析；（2）60°；（3）14

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；
（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，

，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，
即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，
∴BE=BP+PE=12+2=14