Question

如图，在△ABC中，∠A=90°， D是AB边上一点，且DB=DC，过BC上一点P（不包括B，C二点）作PE⊥AB，垂足为点E， PF⊥CD，垂足为点F，已知AD：DB=1：4，BC= ，求PE+PF的长.

Answer

4

【解析】结合已知AD：DB=1：4，BC= ，应用勾股定理求出AC的长，连接PD，根据S△PBD+S△PCD=S△BCD，可得BD•PE+DC•PF=BD•AC，继而得到PE+PF=AC即可得.

∵AD：DB=1：4，

∴设AD=n，BD=4n，

∴AB=5n，

∵DB=DC，∴DC=4n，

∵∠A=90°，∴AC2=DC2-AD2=15n2，AB2+AC2=BC2，

∵BC=4，

∴（5n）2+15n2=，

∴n2=，∴AC==，

连接PD，PD把△BCD分成两个三角形△PBD，△PCD，

∵PE⊥AB ，PF⊥CD，AC⊥BD，

∴S△PBD=BD•PE，

S△PCD=DC•PF，

S△BCD=BD•AC，

∵S△PBD+S△PCD=S△BCD，

∴BD•PE+DC•PF=BD•AC，

∵DB=DC，

∴PE+PF=AC=.