Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB＝，AB＝16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF＝∠ADB．

（1）求线段BD的长；

（2）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；

（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．

Answer

（1）20；（2），定义域为0＜x≤24；（3）20或24或．

【解析】

试题（1）由矩形的性质和三角函数定义求出AD，由勾股定理求出BD即可；

（2）证明△EDF∽△BDE，得出，求出CE=|x﹣12|，由勾股定理求出DE，即可得出结果；

（3）当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，分情况讨论：

①当BE=BD时；②当DE=DB时；③当EB=ED时；分别求出BE即可．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△BAD中，，AB=16，

∴AD=12∴；

（2）∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵∠DEF=∠ADB，

∴∠DEF=∠DBC，

∵∠EDF=∠BDE，

∴△EDF∽△BDE，

∴，

∵BC=AD=12，BE=x，

∴CE=|x﹣12|，

∵CD=AB=16

∴在Rt△CDE中，，

∵，

∴，

∴，定义域为0＜x≤24

（3）∵△EDF∽△BDE，

∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，

①当BE=BD时

∵BD=20，∴BE=20

②当DE=DB时，

∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，

∴BE=24；

③当EB=ED时，

作EH⊥BD于H，则BH=，cos∠HBE=cos∠ADB，

即

∴，

解得：BE=；

综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或．