Question

如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为x_A＝﹣5和x_B＝6，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B，A之间往返运动．设运动时间为t秒．

(1)当t＝2时，点P对应的有理数x_P＝______，PQ＝______；

(2)当0＜t≤11时，若原点O恰好是线段PQ的中点，求t的值；

(3)我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，直接写出此整点对应的数．

Answer

(1)﹣3，5；(2)t＝1或7；(3)6.

【解析】

（1）先求出P,Q对应的数，再求PQ的值；（2）结合数轴①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，有AP＝t，BQ＝2t．此时OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，要使原点O恰好是线段PQ的中点，点Q必须位于原点O左侧；列出相应方程即可；（3）分两种情况求出t: ①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，当P，Q两点重合时，P与Q相遇；②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，当P，Q两点重合时，点Q追上点P，AQ＝AP.

【解析】
(1)当t＝2时，点P对应的有理数xP＝﹣5+1×2＝﹣3，

点Q对应的有理数xQ＝6﹣2×2＝2，

∴PQ＝2﹣(﹣3)＝5．

故答案为﹣3，5；

(2)∵xA＝﹣5，xB＝6，

∴OA＝5，OB＝6．

由题意可知，当0＜t≤11时，点P运动的最远路径为数轴上从点A到点B，点Q运动的最远路径为数轴上从点B到点A并且折返回到点B．

对于点P，因为它的运动速度vP＝1，点P从点A运动到点O需要5秒，运动到点B需要11秒．

对于点Q，因为它的运动速度vQ＝2，点Q从点B运动到点O需要3秒，运动到点A需要5.5秒，返回到点B需要11秒．

要使原点O恰好是线段PQ的中点，需要P，Q两点分别在原点O的两侧，且OP＝OQ，此时t≠5.5．

①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，有AP＝t，BQ＝2t．

此时OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．

∵原点O恰好是线段PQ的中点，

∴OP＝OQ，

∴|5﹣t|＝|6﹣2t|，

解得t＝1或t＝．

检验：当t＝时，P，Q两点重合，且都在原点O左侧，不合题意舍去；t＝1符合题意．

∴t＝1；

②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，要使原点O恰好是线段PQ的中点，点Q必须位于原点O左侧，此时P，Q两点的大致位置如下图所示．

此时，OP＝AP﹣OA＝t﹣5，OQ＝OA﹣AQ＝5﹣2(t﹣5.5)＝16﹣2t．

∵原点O恰好是线段PQ的中点，

∴OP＝OQ，

∴t﹣5＝16﹣2t，

解得t＝7．

检验：当t＝7时符合题意．

∴t＝7．

综上可知，t＝1或7；

(3)①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，当P，Q两点重合时，P与Q相遇，此时需要的时间为：秒，

相遇点对应的数为﹣5+＝﹣，不是整点，不合题意舍去；

②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，当P，Q两点重合时，点Q追上点P，AQ＝AP，

2(t﹣5.5)＝t，解得t＝11，

追击点对应的数为﹣5+11＝6．

故当P，Q两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数为6．