Question

如图，O为菱形ABCD对角线上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求证：CD与⊙O相切；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，求⊙O的半径．

Answer

（1）详见解析；（2）⊙O的半径为﹣6+4．

【解析】

（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N．只要证明OM=ON即可解决问题；

（2）设半径为r，则OC=2-r，OM=r，利用勾股定理构建方程即可解决问题

（1）连接OM，过点O作ON⊥CD于N，

∵⊙O与BC相切于点M，

∴OM⊥BC，OM是⊙O的半径，

∵AC是菱形ABCD的对角线，

∴AC平分∠BCD，

∵ON⊥CD，OM⊥BC，

∴ON＝OM＝r，

∴CD与⊙O相切；

（2）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ACB是等边三角形，

∴AC＝AB＝2，

设半径为r．则OC＝2﹣r，OM＝r，

∵∠ACB＝60°，∠OMC＝90°，

∴∠COM＝30°，MC＝，

在Rt△OMC中，∠OMC＝90°，

∵OM2+CM2＝OC2，

∴r2+（）2＝（2﹣r）2，

解得r＝﹣6+4或﹣6﹣4（舍弃），

∴⊙O的半径为﹣6+4．