Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1) 二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；(2) △ADE的面积取得最大值为；（3）点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．

【解析】

（1）利用待定系数法求解可得；

（2）先求出直线的解析式为，作轴，延长交于点，设，则，，根据可得函数解析式，利用二次函数性质求解可得答案；

（3）先根据抛物线解析式得出对称轴为直线，据此设，由，知，，，再分，及三种情况分别求解可得.

【解析】
（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0），

∴，

解得：，

∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；

（2）设直线AE的解析式为y＝kx+b，

∵过点A（﹣3，0），E（0，1），

∴，

解得：，

∴直线AE解析式为，

如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F，

设D（m，m2+2m﹣3），则F（），

∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，

∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF

＝×DF×AG+DF×OG

＝×DF×（AG+OG）

＝×3×DF

＝（﹣m2﹣m+4）

＝﹣m2﹣m+6

＝﹣（m+）2+，

∴当m＝时，△ADE的面积取得最大值为．

（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，

∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，

设P（﹣1，n），

∵A（﹣3，0），E（0，1），

∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1，

①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±，

∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）；

②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，

∴P（﹣1，﹣1）；

③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，

∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；

综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．