Question

如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线。将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG。则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG=112.5°；④BC+FG=1.5.其中正确的结论是(    )

A. ①②③④    B. ①②③    C. ①②    D. ②

Answer

B

【解析】

首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE的度数，推出AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断．

【解析】
∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，

∵△DGH是由△DCB旋转得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，

在Rt△AED和Rt△GED中，

∴△AED≌△GED，故②正确，

∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=GE，

∴∠AED=∠AFE=67.5°，

∴AE=AF，同理GE=GF，

∴AE=GE=GF=AF，

∴四边形AEGF是菱形，故①正确，

∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．

∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，

∴BE>AE，

∴AE<，

∴CB+FG<1.5，故④错误．

故选：B