Question

如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；

求证：(1)△BCQ≌△CDP；(2)OP=OQ.

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

(1)根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件；

(2)根据(1)得到BQ=PC，然后连接OB，根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件，然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题．

证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，

∴∠2+∠3=90°，

又∵DP⊥CQ，

∴∠2+∠1=90°，

∴∠1=∠3，

在△BCQ和△CDP中，

∴△BCQ≌△CDP；

(2)连接OB，

由(1)△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC，

∵点O是AC中点，

∴BO=AC=CO，∠4=∠ABC=45°=∠PCO，

在△BOQ和△COP中，

∴△BOQ≌△COP，

∴OQ=OP.